如果您完成了第 9.5 節(jié)中的練習(xí)，您會發(fā)現(xiàn)梯度裁剪對于防止偶爾出現(xiàn)的大量梯度破壞訓(xùn)練穩(wěn)定性至關(guān)重要。我們暗示爆炸梯度源于長序列的反向傳播。在介紹大量現(xiàn)代 RNN 架構(gòu)之前，讓我們仔細看看反向傳播在數(shù)學(xué)細節(jié)中是如何在序列模型中工作的。希望這個討論能使梯度消失和爆炸的概念更加精確。如果你還記得我們在 5.3 節(jié)介紹 MLP 時通過計算圖進行前向和反向傳播的討論，那么 RNN 中的前向傳播應(yīng)該相對簡單。在 RNN 中應(yīng)用反向傳播稱為 時間反向傳播 ( Werbos, 1990 ). 此過程要求我們一次擴展（或展開）RNN 的計算圖。展開的 RNN 本質(zhì)上是一個前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有相同的參數(shù)在整個展開的網(wǎng)絡(luò)中重復(fù)出現(xiàn)的特殊屬性，出現(xiàn)在每個時間步長。然后，就像在任何前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中一樣，我們可以應(yīng)用鏈式法則，通過展開的網(wǎng)絡(luò)反向傳播梯度。每個參數(shù)的梯度必須在參數(shù)出現(xiàn)在展開網(wǎng)絡(luò)中的所有位置上求和。從我們關(guān)于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的章節(jié)中應(yīng)該熟悉處理這種權(quán)重綁定。

出現(xiàn)并發(fā)癥是因為序列可能相當(dāng)長。處理由超過一千個標記組成的文本序列并不罕見。請注意，從計算（太多內(nèi)存）和優(yōu)化（數(shù)值不穩(wěn)定）的角度來看，這都會帶來問題。第一步的輸入在到達輸出之前要經(jīng)過 1000 多個矩陣乘積，還需要另外 1000 個矩陣乘積來計算梯度。我們現(xiàn)在分析可能出現(xiàn)的問題以及如何在實踐中解決它。

9.7.1. RNN 中的梯度分析

我們從 RNN 工作原理的簡化模型開始。該模型忽略了有關(guān)隱藏狀態(tài)細節(jié)及其更新方式的細節(jié)。這里的數(shù)學(xué)符號沒有明確區(qū)分標量、向量和矩陣。我們只是想培養(yǎng)一些直覺。在這個簡化模型中，我們表示ht作為隱藏狀態(tài)， xt作為輸入，和ot作為時間步的輸出t. 回憶一下我們在第 9.4.2 節(jié)中的討論，輸入和隱藏狀態(tài)可以在乘以隱藏層中的一個權(quán)重變量之前連接起來。因此，我們使用 wh和wo分別表示隱藏層和輸出層的權(quán)重。因此，每個時間步的隱藏狀態(tài)和輸出是

(9.7.1)ht=f(xt,ht?1,wh),ot=g(ht,wo),

在哪里f和g分別是隱藏層和輸出層的變換。因此，我們有一個價值鏈 {…,(xt?1,ht?1,ot?1),(xt,ht,ot),…} 通過循環(huán)計算相互依賴。前向傳播相當(dāng)簡單。我們所需要的只是遍歷(xt,ht,ot)一次三倍一個時間步長。輸出之間的差異ot和想要的目標 yt然后通過所有的目標函數(shù)進行評估 T時間步長為

(9.7.2)L(x1,…,xT,y1,…,yT,wh,wo)=1T∑t=1Tl(yt,ot).

對于反向傳播，事情有點棘手，尤其是當(dāng)我們計算關(guān)于參數(shù)的梯度時wh目標函數(shù)的L. 具體來說，根據(jù)鏈式法則，

(9.7.3)?L?wh=1T∑t=1T?l(yt,ot)?wh=1T∑t=1T?l(yt,ot)?ot?g(ht,wo)?ht?ht?wh.

(9.7.3)中乘積的第一和第二個因子 很容易計算。第三個因素 ?ht/?wh事情變得棘手了，因為我們需要循環(huán)計算參數(shù)的影響wh在 ht. 根據(jù) (9.7.1)中的循環(huán)計算，ht取決于兩者ht?1 和wh, 其中計算ht?1也取決于 wh. 因此，評估的總導(dǎo)數(shù)ht關(guān)于wh使用鏈式規(guī)則收益率

(9.7.4)?ht?wh=?f(xt,ht?1,wh)?wh+?f(xt,ht?1,wh)?ht?1?ht?1?wh.

為了推導(dǎo)上述梯度，假設(shè)我們有三個序列 {at},{bt},{ct}令人滿意a0=0和 at=bt+ctat?1為了t=1,2,…. 然后為 t≥1, 很容易證明

(9.7.5)at=bt+∑i=1t?1(∏j=i+1tcj)bi.

通過替換at,bt， 和ct根據(jù)

(9.7.6)at=?ht?wh,bt=?f(xt,ht?1,wh)?wh,ct=?f(xt,ht?1,wh)?ht?1,

(9.7.4)中的梯度計算 滿足at=bt+ctat?1. 因此，根據(jù) (9.7.5) ，我們可以刪除(9.7.4)中的循環(huán)計算

(9.7.7)?ht?wh=?f(xt,ht?1,wh)?wh+∑i=1t?1(∏j=i+1t?f(xj,hj?1,wh)?hj?1)?f(xi,hi?1,wh)?wh.

雖然我們可以使用鏈式法則來計算 ?ht/?wh遞歸地，這條鏈會變得很長t很大。讓我們討論一些處理這個問題的策略。

9.7.1.1. 全計算

一個想法可能是計算(9.7.7)中的總和 。然而，這是非常緩慢的，梯度可能會爆炸，因為初始條件的細微變化可能會對結(jié)果產(chǎn)生很大影響。也就是說，我們可以看到類似于蝴蝶效應(yīng)的現(xiàn)象，即初始條件的微小變化會導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生不成比例的變化。這通常是不希望的。畢竟，我們正在尋找能夠很好泛化的穩(wěn)健估計器。因此，這種策略幾乎從未在實踐中使用過。

9.7.1.2. 截斷時間步長

或者，我們可以在(9.7.7)之后截斷總和 τ腳步。這是我們迄今為止一直在討論的內(nèi)容。這導(dǎo)致了對真實梯度的近似，簡單地通過終止總和 ?ht?τ/?wh. 在實踐中，這非常有效。這就是通常所說的隨時間截斷的反向傳播( Jaeger, 2002 )。這樣做的后果之一是該模型主要關(guān)注短期影響而不是長期后果。這實際上是可取的，因為它會使估計偏向于更簡單和更穩(wěn)定的模型。

9.7.1.3. 隨機截斷

最后，我們可以更換?ht/?wh通過一個隨機變量，它在預(yù)期中是正確的但截斷了序列。這是通過使用一系列ξt預(yù)定義的 0≤πt≤1， 在哪里P(ξt=0)=1?πt和 P(ξt=πt?1)=πt， 因此E[ξt]=1. 我們用這個來代替漸變?ht/?wh在 (9.7.4)中與

(9.7.8)zt=?f(xt,ht?1,wh)?wh+ξt?f(xt,ht?1,wh)?ht?1?ht?1?wh.

它遵循的定義ξt那 E[zt]=?ht/?wh. 每當(dāng)ξt=0 循環(huán)計算在該時間步終止t. 這導(dǎo)致了不同長度序列的加權(quán)和，其中長序列很少見但適當(dāng)超重。這個想法是由Tallec 和 Ollivier ( 2017 )提出的。

9.7.1.4. 比較策略

圖 9.7.1比較 RNN 中計算梯度的策略。從上到下：隨機截斷、規(guī)則截斷和全計算。

圖 9.7.1說明了使用 RNN 的時間反向傳播分析時間機器的前幾個字符時的三種策略

第一行是將文本分成不同長度的段的隨機截斷。

第二行是將文本分成相同長度的子序列的常規(guī)截斷。這就是我們在 RNN 實驗中一直在做的事情。

第三行是通過時間的完整反向傳播，導(dǎo)致計算上不可行的表達式。

不幸的是，雖然在理論上很有吸引力，但隨機截斷并沒有比常規(guī)截斷好多少，這很可能是由于多種因素造成的。首先，經(jīng)過多次反向傳播步驟后觀察到的效果足以在實踐中捕獲依賴關(guān)系。其次，增加的方差抵消了更多步驟梯度更準確的事實。第三，我們實際上想要只有小范圍交互的模型。因此，隨著時間的推移定期截斷的反向傳播具有輕微的正則化效果，這可能是理想的。

9.7.2. 詳細的時間反向傳播

討論完一般原理后，讓我們詳細討論時間反向傳播。與9.7.1節(jié)的分析不同 ，下面我們將展示如何計算目標函數(shù)對所有分解模型參數(shù)的梯度。為了簡單起見，我們考慮一個沒有偏置參數(shù)的 RNN，其隱藏層中的激活函數(shù)使用恒等映射（?(x)=x). 對于時間步t, 讓單個示例輸入和目標為 xt∈Rd和yt， 分別。隱藏狀態(tài)ht∈Rh和輸出 ot∈Rq被計算為

(9.7.9)ht=Whxxt+Whhht?1,ot=Wqhht,

在哪里Whx∈Rh×d, Whh∈Rh×h， 和 Wqh∈Rq×h是權(quán)重參數(shù)。表示為l(ot,yt)時間步長的損失 t. 我們的目標函數(shù)，損失超過T因此，從序列開始的時間步長是

(9.7.10)L=1T∑t=1Tl(ot,yt).

為了可視化RNN計算過程中模型變量和參數(shù)之間的依賴關(guān)系，我們可以為模型繪制計算圖，如圖9.7.2所示。例如，時間步長 3 的隱藏狀態(tài)的計算， h3, 取決于模型參數(shù) Whx和Whh, 最后一個時間步的隱藏狀態(tài)h2, 和當(dāng)前時間步長的輸入x3.

圖 9.7.2顯示具有三個時間步長的 RNN 模型的依賴關(guān)系的計算圖。方框代表變量（未加陰影）或參數(shù)（加陰影），圓圈代表運算符。

正如剛才提到的，圖 9.7.2中的模型參數(shù)是 Whx,Whh， 和 Wqh. 通常，訓(xùn)練此模型需要針對這些參數(shù)進行梯度計算 ?L/?Whx, ?L/?Whh， 和 ?L/?Wqh. 根據(jù)圖 9.7.2中的依賴關(guān)系，我們可以沿箭頭相反的方向遍歷，依次計算并存儲梯度。為了在鏈式法則中靈活表達不同形狀的矩陣、向量和標量的乘法，我們繼續(xù)使用 prod操作員如第 5.3 節(jié)所述。

首先，在任何時間步根據(jù)模型輸出對目標函數(shù)進行微分t相當(dāng)簡單：

(9.7.11)?L?ot=?l(ot,yt)T??ot∈Rq.

現(xiàn)在，我們可以計算目標相對于參數(shù)的梯度Wqh在輸出層： ?L/?Wqh∈Rq×h. 根據(jù)圖 9.7.2，目標L依賴于取決于 Wqh通過o1,…,oT. 使用鏈式規(guī)則收益率

(9.7.12)?L?Wqh=∑t=1Tprod(?L?ot,?ot?Wqh)=∑t=1T?L?otht?,

在哪里?L/?ot由(9.7.11)給出 。

接下來，如圖9.7.2所示，在最后的時間步 T, 目標函數(shù)L取決于隱藏狀態(tài) hT只能通過oT. 因此，我們很容易找到梯度 ?L/?hT∈Rh使用鏈式法則：

(9.7.13)?L?hT=prod(?L?oT,?oT?hT)=Wqh??L?oT.

任何時間步長都會變得更加棘手t

(9.7.14)?L?ht=prod(?L?ht+1,?ht+1?ht)+prod(?L?ot,?ot?ht)=Whh??L?ht+1+Wqh??L?ot.

為了分析，擴展任何時間步長的循環(huán)計算 1≤t≤T給

(9.7.15)?L?ht=∑i=tT(Whh?)T?iWqh??L?oT+t?i.

我們可以從(9.7.15)中看到，這個簡單的線性示例已經(jīng)展示了長序列模型的一些關(guān)鍵問題：它涉及潛在的非常大的冪Whh?. 其中，小于 1 的特征值消失，大于 1 的特征值發(fā)散。這在數(shù)值上是不穩(wěn)定的，表現(xiàn)為梯度消失和爆炸。如第 9.7.1 節(jié)所述，解決此問題的一種方法是將時間步長截斷為便于計算的大小。實際上，這種截斷也可以通過在給定數(shù)量的時間步后分離梯度來實現(xiàn)。稍后，我們將看到更復(fù)雜的序列模型（如長短期記憶）如何進一步緩解這種情況。

最后，圖 9.7.2表明目標函數(shù) L取決于模型參數(shù)Whx和 Whh通過隱藏狀態(tài)在隱藏層中 h1,…,hT. 計算關(guān)于這些參數(shù)的梯度 ?L/?Whx∈Rh×d 和 ?L/?Whh∈Rh×h，我們應(yīng)用給出的鏈式規(guī)則

(9.7.16)?L?Whx=∑t=1Tprod(?L?ht,?ht?Whx)=∑t=1T?L?htxt?,?L?Whh=∑t=1Tprod(?L?ht,?ht?Whh)=∑t=1T?L?htht?1?,

在哪里?L/?ht由（9.7.13）和 （9.7.14）循環(huán)計算的是影響數(shù)值穩(wěn)定性的關(guān)鍵量。

由于時間反向傳播是反向傳播在 RNN 中的應(yīng)用，正如我們在第 5.3 節(jié)中解釋的那樣，訓(xùn)練 RNN 交替進行正向傳播和時間反向傳播。此外，通過時間的反向傳播依次計算并存儲上述梯度。具體來說就是復(fù)用存儲的中間值，避免重復(fù)計算，比如存儲 ?L/?ht用于兩者的計算?L/?Whx和 ?L/?Whh.

9.7.3. 概括

時間反向傳播僅僅是反向傳播對具有隱藏狀態(tài)的序列模型的應(yīng)用。截斷是為了計算方便和數(shù)值穩(wěn)定性所需要的，例如規(guī)則截斷和隨機截斷。矩陣的高次冪會導(dǎo)致特征值發(fā)散或消失。這以爆炸或消失梯度的形式表現(xiàn)出來。為了高效計算，中間值在反向傳播期間被緩存。

9.7.4. 練習(xí)

假設(shè)我們有一個對稱矩陣 M∈Rn×n具有特征值 λi其對應(yīng)的特征向量是 vi(i=1,…,n). 不失一般性，假設(shè)它們按順序排列 |λi|≥|λi+1|.

顯示Mk有特征值λik.

證明對于一個隨機向量x∈Rn, 很有可能Mkx將與特征向量非常一致v1的 M. 將此聲明正式化。

上述結(jié)果對 RNN 中的梯度意味著什么？

除了梯度裁剪，你能想到任何其他方法來應(yīng)對遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的梯度爆炸嗎？

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