本文介紹數(shù)字預(yù)失真(DPD)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，以及它如何在收發(fā)器的微處理器和硬件中實現(xiàn)。闡述為何現(xiàn)代通信系統(tǒng)需要DPD，并探討如何通過數(shù)學(xué)模型捕捉現(xiàn)實世界的信號失真。

簡介

DPD是數(shù)字預(yù)失真的首字母縮寫，許多射頻(RF)工程師、信號處理愛好者和嵌入式軟件開發(fā)人員都熟悉這一術(shù)語。DPD在蜂窩通信系統(tǒng)中隨處可見，使功率放大器(PA)能夠有效地為天線提供最大功率。隨著5G使基站中的天線數(shù)量增加，頻譜變得更加擁擠，DPD開始成為一項關(guān)鍵技術(shù)，支持開發(fā)經(jīng)濟高效且符合規(guī)格要求的蜂窩系統(tǒng)。

對于DPD，無論從純粹的數(shù)學(xué)角度出發(fā)，還是在微處理器上實現(xiàn)更受限制，我們許多人都有自己獨特的見解。您可能是負責(zé)評估RF基站產(chǎn)品中DPD性能的工程師，或者是一名算法開發(fā)人員，很想知道數(shù)學(xué)建模技術(shù)在實際系統(tǒng)中的實現(xiàn)方式。本文旨在拓寬您的知識面，幫助您從各個角度全面了解這個主題。

什么是DPD？為什么要使用DPD？

當(dāng)基站射頻裝置輸出RF信號時（參見圖1），需要先將其放大，然后再通過天線發(fā)射。我們使用RF PA來執(zhí)行此操作（放大）。在理想情況下，PA接收輸入信號，然后輸出與其輸入成正比的更高功率信號。在執(zhí)行此操作期間，PA會盡可能保持高能效，將提供給放大器的大部分直流電源都轉(zhuǎn)化為信號輸出功率。

圖1.采用和未采用DPD技術(shù)的簡化射頻結(jié)構(gòu)框圖。

但這不是一個理想的世界。PA由晶體管構(gòu)成，晶體管是有源器件，本身具有非線性。如圖2所示，如果我們在其“線性”區(qū)域使用PA（這里的線性是相對而言；所以加了引號），則輸出功率與輸入功率相對成比例。此方法的缺點是PA的使用效率通常很低，提供的大部分功率都會作為熱量流失。我們通常希望在PA開始壓縮時使用。這意味著，如果輸入信號增加了設(shè)定量（例如3 dB），PA輸出不會增加同樣的量（可能只增加1 dB）。很顯然，此時放大器使信號嚴(yán)重失真。

圖2.PA輸入功率與輸出功率之間的關(guān)系圖（顯示了樣本輸入/輸出信號的投影）。

這種失真發(fā)生在頻域中的已知位置，具體取決于輸入信號。圖3顯示了這些位置，以及基頻與這些失真產(chǎn)物之間的關(guān)系。在RF系統(tǒng)中，我們只需要對基波信號附近的失真進行補償，這些信號是奇階交調(diào)產(chǎn)物。系統(tǒng)濾波處理帶外產(chǎn)物（諧波和偶階交調(diào)產(chǎn)物）。圖4顯示RF PA的壓縮點附近的輸出。交調(diào)產(chǎn)物（特別是三階）清晰可見，就像是圍繞著目標(biāo)信號的“裙擺”。

圖4.2× 20 Mhz載波通過SKY66391-12 RF PA。中心頻率 = 1850 MHz。

DPD旨在通過觀察PA輸出來表征這種失真，要了解所需輸出信號，隨之更改輸入信號，使得PA輸出接近理想值。只有在相當(dāng)具體的情況下才能有效地實現(xiàn)這一目標(biāo)。我們需要配置放大器和輸入信號，使放大器有一定程度的壓縮但未完全飽和。

PA失真建模背后的數(shù)學(xué)計算

看到希臘字母和其他數(shù)學(xué)符號，會不會讓人想起過去可怕的大學(xué)考試？不止是您如此！如果大家得到的首批參考資料中有一份是涉及很多數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)論文，那么很可能會打退堂鼓，不想去看它。這篇論文 “射頻功率放大器數(shù)字預(yù)失真的廣義記憶多項式模型”1 具有開創(chuàng)性，它介紹了針對DPD廣泛使用的廣義記憶多項式(GMP)方法。如果您只涉足信號處理方面的工作，上述主題內(nèi)容對您而言可能有點深奧。所以，我們先嘗試拆解一下GMP方法，以更直觀地了解數(shù)學(xué)在其中的作用。

Volterra級數(shù)是DPD的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它用于建立具有記憶的非線性系統(tǒng)模型。記憶僅僅意味著系統(tǒng)的當(dāng)前輸出取決于當(dāng)前和過去的輸入。Volterra級數(shù)很常用（所以功能強大），在電氣工程以外的許多領(lǐng)域都有使用。對于PA DPD，Volterra級數(shù)可以精簡使用，使其在實時數(shù)字系統(tǒng)中更易實現(xiàn)，也更穩(wěn)定。GMP就是這樣一種精簡方法。

圖5顯示如何使用GMP對PA的輸入x和輸出y之間的關(guān)系進行建模。可以看到，該等式的三個單獨的求和塊彼此都非常相似。我們先來看看下方用紅色圈出來的第一個。|x(…)|k項是指輸入信號的包絡(luò)，其中k是多項式階。l將記憶集成到系統(tǒng)中。如果La = {0,1,2}，那么該模型允許輸出yGMP (n)由當(dāng)前的輸入x(n)和過去輸入x(n – 1)和x(n – 2)決定。圖6分析多項式階k對樣本向量的影響。向量x是單個20 MHz載波，在復(fù)基帶上表示出來。去除記憶部分，以簡化GMP建模等式。x|x|k圖顯示的失真與圖4中的實際失真非常相似。

每個多項式階(k)和記憶延遲(l)都有相關(guān)的復(fù)值權(quán)重(akl)。在選擇模型的復(fù)雜程度之后（其中包括k和l的值），需要根據(jù)已知輸入信號的PA輸出實際觀測值來求解這些權(quán)重。圖7將簡化的等式轉(zhuǎn)換為矩陣形式。可以使用數(shù)學(xué)符號簡明表示該模型。但是，要在數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)緩沖區(qū)實現(xiàn)DPD，用矩陣表示法會更簡單，也更具代表性。

我們來看看圖6中等式的第二行和第三行，為了簡化，這兩行被忽略了。注意，如果m設(shè)置為0，那么這兩行會變得與第一行一模一樣。這些行允許在包絡(luò)項和復(fù)基帶信號之間增加延遲（正延遲和負延遲）。這些稱為滯后交叉和超前交叉項，可以顯著提高DPD的建模精度。在我們嘗試對放大器的行為建模時，這些項提供了額外的自由度。注意，Mb、Mc、Kb和Kc不包含0；否則，會重復(fù)第一行的項。

圖7.將簡化的等式轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)緩沖區(qū)的矩陣運算（更接近于數(shù)字實現(xiàn)方式）。

那么，我們?nèi)绾未_定模型的階、記憶項的數(shù)量，以及應(yīng)該添加哪些交叉項？此時，就需要一定數(shù)量的“黑魔法”了。我們掌握的關(guān)于失真的物理學(xué)知識能夠提供一定幫助。放大器的類型、制造材料，以及通過放大器的信號帶寬都會影響建模項，可以幫助熟悉該領(lǐng)域的工程師確定應(yīng)該使用哪個模型。但是，除此之外，還涉及一定程度的反復(fù)試驗。

現(xiàn)在有了模型架構(gòu)，我們從數(shù)學(xué)角度來解決該問題的最后一個方面是如何求解權(quán)重系數(shù)。在實際場景中，人們傾向于求解上述模型的倒數(shù)。事實證明，這些模型系數(shù)能夠彼此互惠，可以使用相同的權(quán)重對捕捉到的PA輸出向量進行后失真，以消除非線性，并對通過PA發(fā)送的發(fā)射信號預(yù)失真，使得PA輸出盡可能呈現(xiàn)線性。在圖8所示的框圖中，顯示了如何對權(quán)重系數(shù)進行估算和預(yù)失真。

圖8.建模和預(yù)失真間接實現(xiàn)框圖。

在逆模型中，將圖7給出的矩陣等式互換，給出X? = Yw。其中，矩陣Y的構(gòu)成方式與其他示例中X的構(gòu)成方式相同，如圖9所示。在本例中，包含了一個記憶項，且減少了包含的多項式的階數(shù)。為了求解w，我們需要得出Y的倒數(shù)。Y不是方形的（是一個瘦長矩陣），所以需要使用“偽逆”矩陣進行求解（參見等式1）。這是從最小二乘意義上求解w，也就是說，最小化了X?和Yw之間的差的平方，正合我們的心意！

鑒于是在具有不同信號的真實環(huán)境中使用，我們可以對其進一步優(yōu)化。在這里，系數(shù)是基于之前的值進行更新，因此受到限制。μ是0和1之間的常數(shù)值，用于控制每次迭代時權(quán)重的變化量。如果μ = 1，w0 = 0，那么此等式立即恢復(fù)到基本最小二乘解。如果將μ設(shè)為小于1的值，則需要多次迭代才能使系數(shù)收斂。

注意，這里描述的建模和估算技術(shù)并非是執(zhí)行DPD的唯一方式。也可以使用其他技術(shù)，例如基于動態(tài)偏差減少的建模來代替或作為附加方法使用。上述用于求解系數(shù)的估算技術(shù)具有多種實現(xiàn)方式。鑒于本文篇幅短小，并非書籍，所以此處不再贅述。

如何在微處理器中實現(xiàn)這一技術(shù)？

我們前面介紹了相關(guān)數(shù)學(xué)知識。下一個問題：如何在實際通信系統(tǒng)中進行應(yīng)用？它在數(shù)字基帶中實現(xiàn)，一般在微處理器或FPGA中實現(xiàn)。ADI的RadioVerse?收發(fā)器產(chǎn)品（例如ADRV902x系列）內(nèi)置微處理器內(nèi)核，其結(jié)構(gòu)有助于輕松實現(xiàn)DPD。

圖9.以矩陣形式表示的逆算法等式。有些記憶包含在其中。

圖10.具有一次記憶選擇和一個三階交叉項元素的三階預(yù)失真計算案例。

在嵌入式軟件中實現(xiàn)DPD涉及兩個方面。一是DPD執(zhí)行器，對實時發(fā)送的數(shù)據(jù)執(zhí)行實時預(yù)失真，二是DPD自適應(yīng)引擎，基于觀察到的PA輸出來更新DPD系數(shù)。

對于如何在微處理器或類似器件中實時執(zhí)行DPD和許多其他信號處理概念，關(guān)鍵在于使用查找表(LUT)。LUT允許用更簡單的矩陣索引操作來代替成本高昂的運行時計算。我們來看看DPD執(zhí)行器如何對發(fā)送的數(shù)據(jù)樣本應(yīng)用預(yù)失真。代表符號如圖8所示，其中u(n)表示要傳輸?shù)男聰?shù)據(jù)樣本，x(n)表示預(yù)失真版本。圖10顯示在給定場景下，獲取一個預(yù)失真樣本所需的計算。這是一個相對受限的示例，最高多項式階為三階，只有一次記憶選取和一個交叉項。即使在這種情況下，要獲取這樣一個數(shù)據(jù)樣本，也需要進行大量乘法、冪運算和加法運算。

在這種情況下，使用LUT可以減輕實時計算負擔(dān)。可以將圖10所示的等式改寫成圖11所示的樣式，其中輸入LUT的數(shù)據(jù)會變得更加明顯。每個LUT都包含等式中突出顯示項的結(jié)果值，它們對應(yīng)|u(n)|的多個可能值。分辨率取決于在可用硬件中實現(xiàn)的LUT大小。當(dāng)前輸入樣本的幅度大小基于LUT的分辨率進行量化，可以作為索引，用于訪問給定輸入的正確LUT元素。

圖11.對等式項重新分組，以顯示LUT的結(jié)構(gòu)。

圖12顯示如何將LUT集成到我們示例案例的完全預(yù)失真執(zhí)行器實現(xiàn)方案。注意，這只是其中一種可能的實現(xiàn)方法。在仍然保持相同輸出的情況下，可以做出更改，例如：可以將延遲元素z–1移動到LUT2右側(cè)。

圖12.使用LUT可能實現(xiàn)DPD的框圖。

自適應(yīng)引擎負責(zé)求解用于計算執(zhí)行器中的LUT值的系數(shù)。這涉及到求解等式1和2中描述的w向量。偽逆矩陣運算(YH Y)-1 YH會耗費大量計算資源。等式1可以改寫為

因為L和LH分別是上、下三角矩陣，所以花費很少的計算資源，就可以求解等式5和等式6，得出w。自適應(yīng)引擎每次運行，得出w的新值時，都需要更新執(zhí)行器LUT來體現(xiàn)這一點。根據(jù)觀察到的PA輸出，或者操作員掌握的待傳輸信號的變化情況，自適應(yīng)引擎可以按照設(shè)定的定期間隔或不規(guī)則的間隔執(zhí)行操作。

在嵌入式系統(tǒng)中實現(xiàn)DPD需要進行大量檢查和平衡，以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最重要的是，發(fā)送數(shù)據(jù)緩沖器和捕捉緩沖器數(shù)據(jù)的時間要一致，以確保它們之間建立的數(shù)學(xué)關(guān)系是正確的，且在長時間之后仍然保持正確。如果這種一致性喪失，那么自適應(yīng)引擎返回的系數(shù)將不能對系統(tǒng)執(zhí)行正確的預(yù)失真，可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。還應(yīng)檢查預(yù)失真執(zhí)行器輸出，確保信號不會使DAC飽和。

結(jié)論

本文從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的角度研究DPD及其在硬件中的實現(xiàn)方法，希望借此揭示關(guān)于DPD的一些奧秘。本文對該主題的探討只是冰山一角，可能有助于推動讀者進一步研究通信系統(tǒng)中信號處理技術(shù)的應(yīng)用情況。Pratt和Kearney的研究是關(guān)于在有線通信系統(tǒng)超寬帶寬用例中使用DPD的一個不錯的參考資料。2ADI的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品可以集成DPD這類算法，為客戶提供高度集成的RF硬件和可配置的軟件工具。

審核編輯：郭婷