18.1

有損傳輸線建模

造成傳輸線中信號衰減的兩種損耗過程是信號路徑和返回路徑導(dǎo)線的串聯(lián)電阻，以及有損介質(zhì)材料的并聯(lián)電阻，這些電阻器都與頻率有關(guān)。

注意，隨著頻率的變化，理想電阻器的阻值是個常數(shù)。前面已說明過，在理想有損傳輸線中，用于表示損耗的這兩種電阻要比簡單的理想電阻器復(fù)雜得多。由于趨膚效應(yīng)的影響，串聯(lián)電阻隨頻率的平方根增長，由于材料的耗散因子和偶極子旋轉(zhuǎn)的影響，并聯(lián)電阻隨頻率的升高而降低。

前面講過理想分布傳輸線，它的特征是特性阻抗和時延，模型將傳輸線的特征分布在整個線長上。理想的有損分布傳輸線模型在無損模型中增加了兩個損耗過程：隨頻率平方根增長的串聯(lián)電阻和隨頻率降低的并聯(lián)電阻。這是新的理想有損傳輸線的基礎(chǔ)，許多仿真器中都用到了這一點(diǎn)。除了特性阻抗和時延，兩個已經(jīng)給出過定義的參數(shù)是耗散因子及下述的單位長度電阻:

其中，R_L表示導(dǎo)線單位長度電阻，R_DC表示單位長度直流電阻，R_AC表示與√f成正比的單位長度電阻系數(shù)。

為了進(jìn)一步領(lǐng)悟理想有損線的性能，我們從傳輸線可以近似為n節(jié)LC電路出發(fā)，通過添加損耗項(xiàng)來評價電路模型的性能。

理想的分布式無損傳輸線可近似為由并聯(lián)電容和串聯(lián)電感集總電路模型節(jié)構(gòu)成的等效電路模型。然而，這個理想無損模型的一個最大不足就是它仍為無損模型。對這個一階等效電路模型加以修正，就能用于表征損耗。在每一節(jié)中，加入串聯(lián)電阻和并聯(lián)電阻的影響。一個理想有損傳輸線的n節(jié)集總電路近似模型的每一小節(jié)包含4項(xiàng)：C表示電容，L表示回路自電感，R_series表示導(dǎo)線的串聯(lián)電阻，R_shunt表示介質(zhì)損耗并聯(lián)電阻。

如果將傳輸線長度加倍，那么總電容C、總電感L和總串聯(lián)電阻R_series都加倍，而總并聯(lián)電阻R_shunt減半。因?yàn)榫€長加倍時，交流漏電流流過的面積加大，所以并聯(lián)電阻降低。

正是由于這個原因，通常使用介質(zhì)漏電導(dǎo)而不是漏電阻來表征。電導(dǎo)用字母G表示，其定義為G=1/R，下面給出電導(dǎo)的定義：

如果傳輸線長度加倍，則并聯(lián)電阻減半而電導(dǎo)加倍。我們?nèi)詫p耗模型化為電阻值隨頻率升高而降低的電阻器，只是改用參數(shù)G加以表示。用漏電導(dǎo)代替漏電阻，使得表示有損傳輸線的4項(xiàng)都與線長成正比。這4項(xiàng)稱為傳輸線的線參數(shù)(通常是指單位長度的值)：R_L表示導(dǎo)線單位長度串聯(lián)電阻；C_L表示單位長度電容；L_L表示單位長度串聯(lián)回路電感；G_L表示由介質(zhì)引起的單位長度并聯(lián)電導(dǎo)。

我們用這個理想的二階n節(jié)集總電路模型去近似理想有損傳輸線，這也是對真實(shí)傳輸線的近似。下圖為一個等效的n節(jié)RLGC傳輸線模型示例。所用的節(jié)數(shù)取決于線長和模型的帶寬，最小的節(jié)數(shù)仍約為 10×BW×T_D 。

將R和G這兩項(xiàng)加入模型中時，理想有損傳輸線的性能與理想無損傳輸線有了一些差別，微分方程求解也相當(dāng)復(fù)雜。在頻域中求解時，不再假設(shè)C_L，L_L，R_L和G_L如何隨頻率化。在每一頻率點(diǎn)上，它們可能改變，也可能是常數(shù)。最后得出如下3個重要特征：

1.特性阻抗Z_0與頻率有關(guān)，并且是個復(fù)數(shù)；

2.正弦波信號的速度v與頻率有關(guān)；

3.引入了一個新參數(shù)α_n以表示正弦波沿線傳播時其幅度的衰減，這一衰減與頻率有關(guān)。

特性阻抗、速度和單位長度衰減的值如下所示：

其中，Z_0表示特性阻抗，v表示信號速度，α_n表示單位長度幅度的衰減(單位為neper/長度，即奈培/長度)，ω表示正弦波角頻率(單位為rad/s)，R_L表示導(dǎo)線單位長度串聯(lián)電阻，C_L表示單位長度電容，L_L表示單位長度串聯(lián)回路電感，G_L表示由介質(zhì)引起的單位長度并聯(lián)電導(dǎo)。

為了簡化這些代數(shù)式，通常所建近似模型中的傳輸線是有損耗的，但損耗不太大，稱為低損耗近似條件，即串聯(lián)電阻 R_L?ωL_L ，并聯(lián)電導(dǎo) G_L?ωC_L 。

低損耗近似條件假設(shè)：與回路串聯(lián)電感阻抗相比，導(dǎo)線串聯(lián)電阻的阻抗很小。同理，與流經(jīng)信號路徑和返回路徑之間的電容的旁路電流相比，流經(jīng)介質(zhì)漏電阻的旁路電流很小。當(dāng)頻率約高于10MHz時，1盎司銅線的串聯(lián)電阻隨頻率的平方根增加，ωL_L隨頻率線性增加。從某一頻率起，這一近似條件已經(jīng)很好地滿足了，頻率越高，效果越好。

電導(dǎo)大致隨頻率線性增加，電容大致保持為常數(shù)。當(dāng)G_L?ωC_L即tan(δ)?1時，電路工作在低損耗區(qū)。實(shí)際上，所有互連材料的耗散因子都小于0.02，所以互連總是工作在低損耗區(qū)。

用寬為3mil或更寬的走線線條作為互連的電路板，其低損耗區(qū)是指頻率在2MHz以上的區(qū)域，此區(qū)域包含了最重要的頻率分量。

18.2

有損傳輸線的特性阻抗

下圖即為用FR4中3mil寬的50Ω微帶線的復(fù)特性阻抗的幅值，其中包括導(dǎo)線損耗和介質(zhì)損耗。圖中可以看出，當(dāng)頻率高于10MHz時，復(fù)特性阻抗與無損耗特性阻抗的值非常接近。如果走線再寬一些，將損耗降低一些，則轉(zhuǎn)折頻率將會更低一些。

如前所述，由于趨膚效應(yīng)的影響，電感可能與頻率有些關(guān)系。頻率約高于100MHz時，集膚深度比導(dǎo)線的幾何厚度薄得多，在該頻率點(diǎn)之上電感為常數(shù)。此外，由于介電常數(shù)的實(shí)部隨著頻率變化，從而使電容也可能與頻率有點(diǎn)關(guān)系。這些因素可能使特性阻抗與頻率稍微相關(guān)。但是在實(shí)際互連中，這些效應(yīng)的影響通常不太明顯。

18.3

有損傳輸線中的信號速度

在低損耗區(qū)，電阻性阻抗遠(yuǎn)小于電感性阻抗，且耗散因子遠(yuǎn)小于0.1，從而速度可以近似為：

該結(jié)果恰與無損傳輸線中的信號速度一樣。低損耗區(qū)，信號速度不受損耗影響。

根據(jù)前面速度的準(zhǔn)確表達(dá)式，可以看出速度在什么時候保持恒定，它從哪一點(diǎn)開始隨頻率變化。速度與頻率相關(guān)的效應(yīng)稱為色散，這里是由損耗引起的。下圖給出了FR4板上50Ω微帶線在最差的情況，即線寬為3mil時，微帶線中的信號速度與頻率之間的關(guān)系，其中包括介質(zhì)損耗和導(dǎo)線損耗。

損耗的影響就是它使低頻率分量速度降低的程度要比將高頻率分量速度降低的程度大。低頻率時，串聯(lián)電阻的阻抗要比回路電感的自感阻抗占優(yōu)勢，所以線的損耗相比要大一些，信號速度也就降低了。速度隨頻率變化的現(xiàn)象稱為 色散 。它由兩種機(jī)理引起：與頻率相關(guān)的介電常數(shù)和線損耗。

色散使高頻分量比低頻分量傳播速度快。相應(yīng)地，在時域中，快速上升沿先到達(dá)，接著是慢速上升尾巴，這使上升邊明顯變長。但是，如果確實(shí)是由于損耗造成了上升邊的退化，那么其中直接由衰減造成的影響通常要比色散的影響大得多。

色散也可能是由反射引起的。當(dāng)信號由于反射而往返反彈時，一些信號可能會與信號的延遲部分重疊。這將導(dǎo)致信號在某些頻率上的異常相移，也將表現(xiàn)為信號在時延和速度上的微小變化。有時，我們稱其為異常相移或 異常色散 。

18.4

衰減與dB

當(dāng)信號沿導(dǎo)線傳播時，導(dǎo)線損耗對信號的主要影響就是使信號幅度衰減。如果幅度為V_in的正弦波信號在傳輸線中傳播，則信號幅度將隨著傳輸距離的增加而降低。如果能夠讓時間凝固，以觀察線上存在的正弦波，則各個不同點(diǎn)的波形如下圖所示。其中，正弦波頻率為1GHz，F(xiàn)R4板上有線寬為10mil，長40in的50Ω微帶線。

幅度并不是線性下降的，而是隨著距離的變化呈指數(shù)下降。這可以用基為e或10的指數(shù)加以表示。以e為基時，輸出信號為：

其中，V_(d)表示線上位置d點(diǎn)的電壓，d表示線上點(diǎn)的位置(單位為in)，V_in表示輸入電壓幅度，A_n表示總衰減(單位為neper，有時用n表示)，α_n表示單位長度衰減(單位為neper/in)。

例如，若衰減為1neper，則最終輸出幅度為輸入幅度的 exp(-1)=37% ；衰減為2neper,則輸出幅度為輸入幅度的 exp(-2)=13% 。

同理，如果給定輸入和輸出幅度，則衰減可以由下式得到：

關(guān)于衰減的符號有些不明確。在所有的無源互連中，不存在任何增益，輸出電壓總是小于輸入電壓。若指數(shù)項(xiàng)為0，則輸出幅度恰與輸入幅度相等。指數(shù)符號為負(fù)是得到縮小幅度的唯一途徑。那么，負(fù)號是直接放在指數(shù)中還是放在衰減量的前面?這兩種方法都可以。有時稱衰減為-2neper或2neper，因?yàn)樗偸潜环Q為衰減，也就不存在含糊不清了。

通常，衰減被認(rèn)為是一個大于零的正數(shù)。根據(jù)這一觀點(diǎn)，負(fù)號就不是衰減項(xiàng)的一部分，而指數(shù)項(xiàng)的一部分。

用10作為基表示衰減比用e作為基更常用些，稱為分貝(dB)，這種形式的輸出幅度為：

其中，V(d)表示線上位置d點(diǎn)的電壓，d表示沿線位置(單位為in)，V_in表示輸入電壓幅度，A_dB表示總衰減(單位為dB)，α_dB表示單位長度衰減(單位為dB/in)，20表示將dB轉(zhuǎn)換成幅度的系數(shù)。

在幾乎所有工程應(yīng)用中，總是用Bel去度量兩個功率P1和P0之比的對數(shù)Bel=log(P1/P0)。 **1 Bel=10deciBel，** 若比值用dB表示，則為

例如，功率增加1000倍，Bel增加 log(1000)=3Bel ，dB增加 10×3Bel=30 dB 。若輸出功率僅為輸入功率的1%，則功率降低 log(10^?2)=?2Bel ，或 10×(-2)Bel=-20dB 。功率以任意比例系數(shù)改變時，可以用dB表示其中的變化。若功率加倍，則分貝值的變化為 **10×log(2)=10×0.3=3dB** 。通常所用的“3dB變化”指功率加倍。如果功率變?yōu)橄陆盗?0%，則分貝值的變化 **10×log(0.5)=-3 dB** 。實(shí)際的功率比值可以由分貝值得到，即：

關(guān)于分貝值刻度，需要記住如下3個重要規(guī)則：

1.分貝值刻度經(jīng)常指的是兩個功率或能量比值的對數(shù)。

2.以10為基，用分貝值度量兩個功率的比值時，指數(shù)項(xiàng)為分貝值/10。

3.當(dāng)從分貝轉(zhuǎn)換到實(shí)際的功率之比時，記住要先除以10。

如果度量的是其他兩個量的比值，則一定要注意它們與功率的區(qū)別。例如，當(dāng)測得兩個電壓V0和V1時，其比值是r=log(V1/V0)，r的單位是無量綱的。但是，不能用dB去直接度量這個比值。因?yàn)閐B指的是兩個功率或能量的比值。電壓不是能量，它僅是幅度。我們可以理解成與電壓相關(guān)的兩個功率之比， rm =10×log(P1/P0) 。那么，怎樣將功率與電壓相關(guān)聯(lián)呢?電壓波中的能量與電壓幅度的平方成正比， P~V^2 。用dB表示的電壓的比值，與用dB表示的相應(yīng)功率的比值等同，即

計算dB值時，若指的是功率或能量，則系數(shù)為10；若指的是幅度，則系數(shù)為20。這里的信號幅度即為電壓、電流或阻抗。

由dB可以計算出電壓的比值，即

下圖列出了一些電壓及與電壓相對應(yīng)功率的比值和用dB表示的比值。

18.5

有損線上的衰減

正弦波沿傳輸線傳播時，電壓幅度呈指數(shù)遞減，以dB度量的總衰減將隨著線長度的增加而線性增加。FR4板中，1GHz信號的典型衰減可能是0.1dB/in。若傳播1in，衰減為0.1dB，則信號幅度降低到

傳播10in，衰減為1dB，則信號幅度降低到89%。

如果隨著頻率的變化，導(dǎo)線的單位長度串聯(lián)電阻和由介質(zhì)引起的單位長度并聯(lián)電導(dǎo)都是常量，則傳輸線的衰減當(dāng)頻率變化時也是常量。所有頻率感受到的損耗量都是相同的。

單位長度損耗由兩部分組成，一部分是由導(dǎo)線串聯(lián)損耗引起的衰減，另一部分衰減與介質(zhì)材料并聯(lián)損耗有關(guān)。

衰減總是與幾何結(jié)構(gòu)無關(guān)，這不是近似，而是基于引起并聯(lián)電導(dǎo)的幾何參數(shù)同時又反向作用于特性阻抗這個事實(shí)。例如，假設(shè)線寬增加，則電容將增加，因此電導(dǎo)增加，但是特性阻抗降低了，衰減結(jié)果仍一樣。

這里給出一個非常有價值的經(jīng)驗(yàn)法則：FR4型疊層的介質(zhì)損耗約為0.1 dB/in/GHz。它與導(dǎo)線的阻抗或任何幾何特征無關(guān)，只與材料性質(zhì)有關(guān)。這一簡單的經(jīng)驗(yàn)法則允許快速評估一個通道的預(yù)期損耗。但是，它只包括介質(zhì)損耗。在窄線的情況下，導(dǎo)線的損耗也可能造成等量的損耗。這樣，典型的通道衰減約為0.1～0.2 dB/in/GHz。

在1GHz時，介質(zhì)引起的衰減一般比導(dǎo)線引起的稍微大一些。當(dāng)頻率更高時，介質(zhì)引起衰減增加的速度要比導(dǎo)線引起衰減增加的速度更快。這表明1GHz時，如果介質(zhì)損耗處于主導(dǎo)地位，更高頻率時它就會更重要，而導(dǎo)線損耗則變?yōu)榇沃匾?/p>

隨著頻率的升高，介質(zhì)引起衰減增加的速度要比導(dǎo)線引起衰減增加的速度更快，那么會存在某一頻率，使得在這一頻率之上時介質(zhì)引起的衰減處于主導(dǎo)地位。下圖所示為對于FR4板上8mil寬的50Ω走線的單位長度衰減，導(dǎo)線衰減、介質(zhì)衰減與總衰減的比較結(jié)果。對于線寬大于8mil的50Ω走線，介質(zhì)損耗與導(dǎo)線損耗相等時的轉(zhuǎn)折頻率小于1GHz；頻率高于1GHz時，介質(zhì)損耗處于主導(dǎo)地位。如果線寬小于8mil，則轉(zhuǎn)折頻率高于1GHz。