動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)描述了作用在機(jī)器人上的力與機(jī)器人物理狀態(tài)的變化之間的關(guān)系。例如，自動(dòng)駕駛汽車的動(dòng)力學(xué)將描述加速度和由輪胎、重力、空氣動(dòng)力學(xué)等引起的力之間的關(guān)系。

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述了對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的不由力引起的額外的限制或約束。例如，具有多個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂受到運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，因?yàn)槊總€(gè)關(guān)節(jié)上的剛性連接只允許繞單個(gè)軸旋轉(zhuǎn)。

機(jī)器人或自動(dòng)駕駛車輛都要綜合考慮動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)，某些情況 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，在不追求精確的情況下，動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)都有可能被簡(jiǎn)化考慮。比如有些情況，車會(huì)被簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，等等情況。

運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

1. 廣義坐標(biāo)

廣義坐標(biāo)指的是一組可以完全指定機(jī)器人的唯一位置的坐標(biāo)。廣義，顧名思義，這個(gè)坐標(biāo)中的值除了我們熟知的x、y、z，也可能包括其他狀態(tài)量，是一個(gè)泛泛的坐標(biāo)概念。

2. 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束是指機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中受到的限制，包括位置、姿態(tài)、速度和加速度等因素。這些約束會(huì)對(duì)機(jī)器人的自由度產(chǎn)生影響，從而影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)和控制。運(yùn)動(dòng)學(xué)約束通常用數(shù)學(xué)模型來描述，為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制提供了理論基礎(chǔ)。

針對(duì)n維的廣義坐標(biāo)，他的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束一定是小于n的（不然，大于等于n，方程直接求解了，還運(yùn)動(dòng)啥。。。）。

Pfaffian約束（普法夫約束）是一種特殊的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，Pfaffian約束是由k個(gè)線性無關(guān)約束的集合，且這些約束相對(duì)于廣義速度是線性的約束。

3. 完整約束和非完整約束(Holonomic and Nonholonomic Constraints)

當(dāng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束函數(shù)中只包含廣義坐標(biāo)（不依賴廣義速度）的函數(shù)，就是一個(gè)完整約束。滿足完整約束的系統(tǒng)就是一個(gè)完整系統(tǒng)。完整約束系統(tǒng)可以表達(dá)為

不能用上式表示的系統(tǒng)，就是一個(gè)非完整系統(tǒng)。完整系統(tǒng)的完整約束方程與位置、時(shí)間有關(guān)，與速度無關(guān)。

非完整系統(tǒng)主要表現(xiàn)特征是存在不可積分的微分約束。非完整約束系統(tǒng)的表達(dá)式如下：

完整約束限制了廣義坐標(biāo)的全部值，如果系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)均用廣義坐標(biāo)來表示的話，完整約束實(shí)際上限制的，就是系統(tǒng)可以達(dá)到的全部有效狀態(tài)。

不太好理解，需要我們結(jié)合幾個(gè)例子來簡(jiǎn)單了解一下就可以了：一個(gè)單擺系統(tǒng)，在無外力干擾的情況下，擺錘的廣義坐標(biāo)只有x和y，它們的值會(huì)一直滿足一個(gè)圓弧的約束，且與速度無關(guān)，所以單擺系統(tǒng)就是一個(gè)完整系統(tǒng)，滿足一個(gè)完整約束。

一個(gè)簡(jiǎn)單移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)，它的廣義坐標(biāo)為（x, y, θ），在理想情況下該機(jī)器人不可以發(fā)生平移。不能平移的條件就是，車輪在橫向方向的速度為0。它是一個(gè)普法夫約束，但該普法夫約束不能積分為完整約束，所以該系統(tǒng)是一個(gè)非完整系統(tǒng)，具備非完整約束。

完整約束就是狀態(tài)之間的到達(dá)沒有限制，而非完整約束就是狀態(tài)間的到達(dá)必須滿足一些固定條件

總之，如果機(jī)器人約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)(如運(yùn)動(dòng)約束)，而且方程不可能積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。非完整約束方程總是微分方程的形式。反之，如果機(jī)器人約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的微分項(xiàng)可以積分為有限形式，這類約束稱為完整約束。

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的方程組，實(shí)際上就是描述了狀態(tài)的微分量與控制量的關(guān)系，每一次的控制量作用于該系統(tǒng)能帶來狀態(tài)量多少改變。而它們之間的那個(gè)變化關(guān)系，是與系統(tǒng)的約束相關(guān)的。

式子中，v就是車輛的速度，w就是車輛旋轉(zhuǎn)的角速度。發(fā)沒發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式我們本可以直接寫出，但我們通過約束方程推出了相同的結(jié)論。