連續時間信號的頻域分析，是本課程最為重要的內容之一，也是考試的重點。包括三方面內容：周期信號的傅里葉級數、非周期信號的傅里葉變換、時域抽樣。具體內容如下圖所示。

本文包括前面兩部分：周期信號的傅里葉級數、非周期信號的傅里葉變換。

說在前頭：

借助傅里葉級數這塊敲門磚，我們就可以邁進頻域分析的世界。但是很不幸，傅里葉級數稍顯繁瑣的表示形式和推導過程，使很多人望而生畏，打擊了學好本課程的自信心，越學越不想學，甚至于放棄。所以，我要求大家在學習或復習傅里葉級數這部分內容的時候，要練就一顆火眼金睛，要透過繁瑣的數學推導和計算，看到它背后隱藏的物理意義。特別是到傅里葉變換這部分，會出現很多神奇而美妙的結論，就好比閃閃發光的珠寶，吸引大家學好信號與系統。

一、周期信號的傅里葉級數（CTFS）

“周期信號的傅里葉級數”是打開“頻域分析”大門的敲門磚，是連接時域和頻域的橋梁。

主要內容包括：

1、三角形式的FS和指數形式的FS

下圖給出了三角形式和指數形式的FS展開式及系數求解公式。

三角形式的FS與指數形式的FS的根本不同之處在于下面這個式子：

指數形式傅氏級數中有負頻率項，只是表達形式的問題，并不表示真正存在以負頻率進行振蕩的分量，負頻率項與相應的正的頻率項合起來才代表一個振蕩分量。

需要掌握：

第一，兩種形式的正交信號集的特點；

第二，兩種形式的FS的展開式的表達式及系數求解（重點）。

根據周期信號時域表達式的不同，求解方法分為兩種：

第一種，當信號直接寫成幾個正余弦函數之和的形式時，直接與FS展開式的標準形式對比，得出FS系數，例如：

第二種，一般的周期信號，則需要利用系數求解公式進行積分運算。例如周期矩形脈沖信號的FS。教材上一般都有這道例題，這里不再重復。

2、周期信號的頻譜分析

這里是本課程首次給出“頻譜”的概念。用頻譜來描述信號，大家一定要接受并掌握這種描述信號的新形式，理清時頻對應關系，為后續課程的學習打下基礎。

第一，掌握頻譜的概念。衍生出來的“幅度譜”、“相位譜”、“單邊譜”、“雙邊譜”等名詞。

再從做題的角度總結一下，如下圖。

第二，周期信號頻譜的特點：離散性、諧波性、收斂性

第三，周期信號時域參數與頻譜特性的關系

以周期矩形脈沖信號為例來分析。如下圖。

得到以下結論：

第四，時域波形對稱特點與傅里葉系數的關系

如果時域波形有某種對稱的特點，它的傅里葉級數會表現出一些特殊性，如下圖所示。

這種特殊性，在求解一些周期信號的傅里葉級數系數時，如果運用得當，可以簡化計算。

二、非周期信號的傅里葉變換（CTFT）

傅里葉變換是重點中的重點。包括以下幾個方面的內容：

1、傅里葉變換的導出

如下圖所示。

周期T→無窮大，譜線間隔→無窮小，離散譜→連續譜，但同時，譜線幅度→無窮小，此時，用FS表示頻譜就不合適了。我們注意到，雖然譜線幅度趨于無窮小，但相對大小依然有區別。

借助物理上的“密度”的概念，質量/體積=密度。導出非周期信號的傅里葉變換X(jw),它的意義是單位頻帶上的頻譜值，稱為“頻譜密度函數”。

2、常用信號的傅里葉變換

沖激信號、階躍信號、符號函數、直流信號、正弦信號、余弦信號、單邊指數衰減信號、雙邊指數衰減信號、門函數（矩形脈沖信號）、鐘形脈沖信號（高斯脈沖）、升余弦脈沖信號、sinc函數等等。以及它們的各階導數和微分。

這些常用信號，有普通信號，也有奇異信號；有滿足絕對可積條件的，也有不滿足絕對可積條件的。它們的傅里葉變換的求解，分為三種情況：

第一種，直接利用定義式求解；第二種，利用已有的變換對和性質求解；第三種，特殊方法（比如階躍信號u(t)、符號函數等）。

有些要記住、有些（比如雙邊指數信號、鐘形脈沖、升余弦脈沖等）要能推導出來。

3、傅里葉變換的性質

利用傅里葉變換這個工具，我們可以從信號的時域描述（以時間t為自變量的函數x(t)）得到它的頻域描述（X(jw)），反之亦然。傅里葉變換的性質就是研究這兩個域——時域和頻域之間的對應關系，什么對應關系呢？我們可以用兩句話來總結，第一句話，一個域中的某些特性在另外一個域中對應什么特性？第二句話，一個域中的某種運算在另外一個域中發生什么變化？具體來說，哪些特性、哪些運算呢？比如，奇偶對稱特性、展縮運算、平移、積分/微分等等。

任何一本教材上，都有傅里葉變換性質的列表，這里不面面俱到。重點講以下幾個：

展縮特性

矩形脈沖信號的傅里葉變換對能特別直觀地展現展縮性質。

矩形脈沖的脈寬增大，時域上，非零值的時間范圍增加；頻域上，頻譜更集中在頻率原點附近。即“時域擴展，頻譜壓縮”，反之亦然。

展縮特性，從理論上證明了時域與頻域的相反關系，也證明了信號的時寬帶寬積等于常數的結論。通信中，若要壓縮信號的持續時間，則信號的帶寬就要展寬。要壓縮信號的有效頻帶，就不得不增加信號的持續時間。

一般而言，時域有限，頻譜無限，反之亦然。不存在時域和頻域都有限的信號。

時移頻移特性

時域平移，對應頻域，幅頻特性不變，相位譜產生附加的線性變化（+wt0）。所以波形的形狀不變，因為各個頻率分量的相對大小關系不變（對應幅度譜不變）、在時間軸上的相對位置關系也不變（對應相位增加一個wt0，和w成線性關系）。

頻移呢，頻譜的搬移是通信系統中應用廣泛的技術，例如調制、解調、變頻等，都是在頻移的基礎上完成的，頻移特性是其理論基礎。

利用頻移特性，我們可以推導出虛指數信號、正弦余弦信號的傅里葉變換。這三個信號都是不滿足絕對可積條件的，其傅里葉變換中都存在沖激函數。

微分特性

時域微分特性和頻域微分特性，可以用來求解利用公式不能或者不易求解的變換對，比如沖激偶函數、tu(t)等等。

微分特性，在系統的頻域分析中很重要。因為描述連續時間系統的是微分方程，我們可以想到，傅里葉變換的方法，必將在微分方程求解（即系統響應求解）、系統分析中大有用武之地。

積分特性

積分特性也是主要用來求解一些比較復雜的信號的傅里葉變換。但是應用的時候要注意，不能把積分特性當做微分特性的倒過來，而要注意其中的直流分量，否則就會出錯。

卷積特性

包括時域卷積特性和頻域卷積特性，一個域相乘，另外一個域卷積，這是一個非常基本、非常重要的關系。

提供了一種計算傅里葉變換的方法，同時，也是系統的頻域分析的基礎。

互易對稱特性

最后來說一說這個神奇而美麗的性質。

如果某個信號，在時域上有某種紅色的特性，它在頻域上有藍色的特性，而另外一個信號，在時域上有這種藍色的特性，那么它在頻域上，就會以某種類似于剛才那種紅色的特性表現出來。

很多變換對體現了這一點。比如，時域上的沖激信號，頻譜是1；而時域上的直流1，對應頻譜為2π乘上沖激函數。再比如，時域上的矩形脈沖，頻譜為sinc函數；而時域的sinc信號，頻譜為矩形函數。

很多傅里葉變換的性質也體現了這一點，比如時移特性與頻移特性、時域微分與頻域微分，等等。

最后，提一下傅里葉反變換的求解方法，有以下三種：

利用傅里葉反變換的定義式求解

利用FT的性質求解

特別注意互易對稱性的應用。

部分分式展開法

部分分式展開法，不僅僅是傅里葉反變換的求解方法之一，也是后面的拉氏變換、z變換的反變換求解方法。

4、周期信號的傅里葉變換

周期信號，不滿足絕對可積，如果帶入到傅里葉變換的公式里，積分是不收斂的，那是不是就意味著，周期信號的傅里葉變換不存在呢？不是的。我們前面在講解傅里葉變換的性質時，已經求解出了正余弦信號的傅里葉變換對，發現它們的傅里葉變換中有沖激函數，所以，通過引入沖激函數，不滿足絕對可積條件的周期信號，也可以用傅里葉變換來表示。這樣，傅里葉變換就把傅里葉級數統一起來了。

傅里葉級數和傅里葉變換之間到底是什么關系呢？用下圖很容易理解二者的關系。

周期信號的傅里葉變換是一系列強度為2πXk，發生在諧波頻率kw0上的沖激串的線性組合，仍是離散譜。

可以推導出一個非常重要、非常有趣、非常美麗的一個變換對，如下圖

上圖所示的這個變換對，會在“時域抽樣”部分中發揮重要的作用。