預(yù)測控制中的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略

??? 摘? 要：預(yù)測控制算法為了在自由度不足時按優(yōu)先級優(yōu)先保證基本控制目標(biāo)，在自由度多余時充分利用自由度提高效益，在算法中引入了優(yōu)化+控制的策略。本文首先介紹和分析了以前對預(yù)測控制的改進工作，最后給出了基于目標(biāo)規(guī)劃思想的優(yōu)化策略。
??? 關(guān)鍵詞：預(yù)測控制? 穩(wěn)態(tài)優(yōu)化? 目標(biāo)規(guī)劃

1 引言
??? 預(yù)測控制算法除了可以處理約束外，吸引工程人員的另一個優(yōu)點在于：作為一個多變量控制算法，預(yù)測控制中的系統(tǒng)輸入并不是僅僅和某一個特定的輸出關(guān)聯(lián)，所有的被控變量在一個體系之中。這樣就可以在系統(tǒng)由于輸入飽和、執(zhí)行機構(gòu)失靈等原因造成自由度丟失后，仍可以尋找最佳控制效果，保證裝置的平穩(wěn)運行；另外如果存在多余的自由度，即在滿足控制要求的同時操縱變量可以在一定的范圍變化，這樣預(yù)測控制可以在更加經(jīng)濟的狀態(tài)運行。但是傳統(tǒng)的控制策略不能夠?qū)崿F(xiàn)上面的要求。
??? 為了發(fā)揮預(yù)測控制的優(yōu)點，實現(xiàn)上面要求，需要引入新的策略。優(yōu)化+控制策略是其中比較成功的策略之一，在優(yōu)化層完成控制層的設(shè)定值計算，這一計算包括：按優(yōu)先級首先確保重點控制目標(biāo)，然后是一般控制目標(biāo)，最后如果仍存在多余自由度，則在保證前面控制目標(biāo)的前提下進行經(jīng)濟優(yōu)化。
??? 本文在對以前所做工作進行分析后，提出了基于目標(biāo)規(guī)劃理論的優(yōu)化策略，這種優(yōu)化策略和傳統(tǒng)的算法相結(jié)合可以高效、簡潔地達(dá)到上面的目的。
2 以前的工作
??? 對R維輸入、S維輸出的系統(tǒng)，預(yù)測控制算法總是試圖求解未來M個時刻(控制時域)的控制，使模型預(yù)測輸出在未來P個時刻(優(yōu)化時域)內(nèi)達(dá)到以上基本目標(biāo)。最初的動態(tài)矩陣控制(DMC)可以描述如下［１］

??????? (還包括一些其它變量，如被控變量、操縱變量的約束條件)???? (2)
??? 其中，W(k)為參考軌跡，(S×P)維向量；YPM(k)為ΔUM（k)作用下模型預(yù)測輸出，(S×P)維向量；YP0(k)輸出預(yù)測初值，(S×P)維向量；A為動態(tài)矩陣，由階躍響應(yīng)系數(shù)排成的(S×P)×(R×M)維矩陣；Q=block-diag(Q1，…，Qs)，Qi=diag［qi(1),…,q?i(p)］,i=1,…,S。
??? 預(yù)測控制器的操縱變量多于被控變量時，操縱變量可能存在多余的自由度。充分利用多余自由度，預(yù)測控制可以在更經(jīng)濟的狀態(tài)下運行。為了利用多余自由度，需要在控制目標(biāo)中引入和經(jīng)濟效益相關(guān)的變量，這些變量稱為經(jīng)濟變量，可以歸結(jié)為控制量的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)，如讓控制量盡量接近其理想穩(wěn)態(tài)值(Ideal Rest Value-IRV)。
??? 基于這樣的思路將反映穩(wěn)態(tài)優(yōu)化要求的項加入到性能指標(biāo)(1)中，就可以得到一種稱為綜合性能指標(biāo)法的預(yù)測控制改進方法：


??? 但綜合性能指標(biāo)法也存在缺點，具體如下［２］：（1)存在大的階躍擾動時，由于目標(biāo)函數(shù)可能增加太快造成控制作用被抑制，使控制作用遲緩，輸出響應(yīng)偏差大和回復(fù)時間長；（2)采用綜合指標(biāo)法的控制系統(tǒng)一定是瘦系統(tǒng)，當(dāng)存在模型失配和擾動時，設(shè)定值yset。和uset不可能同時實現(xiàn)。由于在實際中，模型失配和擾動的存在不可避免，這樣將造成穩(wěn)態(tài)余差。

??? 其中等式約束中的YP′M′(k)是從未來P個時刻預(yù)測值中選出的。
??? 由于采用了分層優(yōu)化的合理結(jié)構(gòu)，多目標(biāo)優(yōu)化方法克服了綜合目標(biāo)法的一些不足，但是這種方法對自由度減少和如何根據(jù)優(yōu)先級，實現(xiàn)對主要控制目標(biāo)的優(yōu)先控制沒有涉及。這主要是由于改進算法把重點放在了如何利用“胖系統(tǒng)”的多余自由度上，沒有過多考慮“瘦系統(tǒng)”自由度不足時的情況。
??? Swartz［４］針對“瘦系統(tǒng)”自由度不足的情況，提出了分層監(jiān)督控制策略，在監(jiān)督控制中根據(jù)優(yōu)先級，實現(xiàn)被控輸出設(shè)定值的優(yōu)化計算。設(shè)定值通過根據(jù)優(yōu)先級定義的優(yōu)化子問題序列取得，其中每一個子問題都是一個二次規(guī)劃，其目標(biāo)函數(shù)為盡可能使輸出設(shè)定值接近期望值而且在上一級優(yōu)化子問題的約束，實現(xiàn)在保證上一級優(yōu)化控制目標(biāo)的前提下，進行優(yōu)先級低的優(yōu)化問題的求解。這種方法的優(yōu)點：確保控制效果，采用分層的優(yōu)化+控制結(jié)構(gòu)。這種方法的缺點主要在于多級的二次規(guī)劃求解計算量太大，另外穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟指標(biāo)不能直接放入優(yōu)化問題中，這樣在存在多余自由度的情況下，經(jīng)濟目標(biāo)的優(yōu)化還需要其它工作。
??????? Swartz的監(jiān)督控制策略中計算的是穩(wěn)態(tài)時的輸出設(shè)定值，而經(jīng)濟指標(biāo)也是穩(wěn)態(tài)優(yōu)化，所以我們結(jié)合上面所做的工作，提出了一種新的優(yōu)化+控制的兩級預(yù)測控制算法，同時實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)優(yōu)化和動態(tài)控制。在優(yōu)化部分使用簡單的目標(biāo)規(guī)劃方法，提出了包括被控輸出設(shè)定值計算和經(jīng)濟指標(biāo)優(yōu)化的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化測量，在動態(tài)控制部分吸取綜合指標(biāo)法的優(yōu)點，增加了對穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟目標(biāo)的控制而且克服了綜合指標(biāo)法的缺點。這種采用線性規(guī)劃進行局部優(yōu)化、預(yù)測控制進行動態(tài)控制的算法，可以實現(xiàn)所謂胖瘦系統(tǒng)的自由轉(zhuǎn)換，在優(yōu)先保證基本控制目標(biāo)的前提下，實現(xiàn)經(jīng)濟目標(biāo)優(yōu)化。
??? 總的來看，以前的工作都有可取之處，但是考慮的問題具有局限性，不是僅僅考慮了多自由度下的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟指標(biāo)優(yōu)化，就是僅僅考慮了自由度不足時基本控制目標(biāo)的優(yōu)先級控制。相比較而言，本文提出的改進的優(yōu)化+控制策略可以實現(xiàn)胖瘦系統(tǒng)的自由轉(zhuǎn)變，而且在按優(yōu)先級保證控制目標(biāo)的前提下，追求經(jīng)濟目標(biāo)的最大化。
3 基于目標(biāo)規(guī)劃的優(yōu)化策略
??? 被控對象的線性穩(wěn)態(tài)模型描述如下：
? ?Ｙ＝ＧＵ＋δ??? (4)
中G為穩(wěn)態(tài)增益矩陣，δ是階躍擾動對輸出影響的估計。
??? δ提供了一種克服不可測擾動和模型失配影響的反饋機制，擾動估計可以采用?Cutler提出的方法，對于SISO系統(tǒng)：

??? 其中y(i)表示當(dāng)前測量值，u和Δu分別為括號內(nèi)采樣時刻的輸入和輸入變化，ai是單位階躍響應(yīng)系數(shù)，N是系統(tǒng)的模型時域。假設(shè)擾動為階躍擾動。
??? 對于式(1)描述的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)優(yōu)化的任務(wù)是根據(jù)約束和工程人員或者上一層優(yōu)化給出的控制要求和期望的經(jīng)濟指標(biāo)，計算預(yù)測控制中的設(shè)定值。
??? 目標(biāo)規(guī)劃［５］的目標(biāo)函數(shù)是按各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏離變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先級系數(shù)而構(gòu)造的，當(dāng)每一個目標(biāo)值確定以后，優(yōu)化的要求是盡可能靠近目標(biāo)值。優(yōu)先級需要根據(jù)實際情況給出，設(shè)共有k個優(yōu)先級，優(yōu)先級系數(shù)Pi(i=1,2，…，k)滿足P1>>P2>>…，>>Pk。一般基本控制目標(biāo)比經(jīng)濟目標(biāo)的優(yōu)先級高主要控制目標(biāo)比次要控制目標(biāo)的優(yōu)先級高。在實際應(yīng)用中優(yōu)先級系數(shù)只要保證優(yōu)先級可以得到體現(xiàn)即可。
??? 如果是設(shè)定值優(yōu)化那么目標(biāo)函數(shù)是minz=f(d+,d-)，如果是不大于某一個區(qū)間上限則目標(biāo)函數(shù)為minz=f(d＋)，如果是不小于某一個區(qū)間下限則目標(biāo)函數(shù)為minz=f(d－)，如果是區(qū)間則控制目標(biāo)為上面兩種情況的綜合。其中正偏差d＋表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差d－表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，相關(guān)的d+、d-必定至少一個等于０。下面結(jié)合一個實例來說明基于目標(biāo)規(guī)劃的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略。
??? 例1［６］過程是由三個產(chǎn)品抽出和三個回流組成的重油分餾塔，塔底回流溫度是操作約束。操縱變量是塔頂和側(cè)線的抽出以及塔底的回流量。塔頂回流用來和其它裝置換熱，可以認(rèn)為是可測擾動。4個輸出包括u3的理想穩(wěn)態(tài)值，輸出輸入變量如表1。
??? 使用穩(wěn)態(tài)增益并設(shè)那么穩(wěn)態(tài)模型如式(3)描述，其中

??? 定義穩(wěn)態(tài)優(yōu)化目標(biāo)以及優(yōu)先級如表2

優(yōu)化目標(biāo)中-0．5＜y3屬于區(qū)間優(yōu)化，y1＝0，y2=0屬于設(shè)定值優(yōu)化，y4=0．5屬于經(jīng)濟量的ESV。
硬約束為：－0．5≤y1≤0．5；－0．5≤ui≤0．5，i=1,2,3
這一優(yōu)化問題的目標(biāo)規(guī)劃如下

??? 計算結(jié)果控制作用為ul=0．5，u2=-0．0529，u3=-0．104。利用控制作用可以得到輸出的設(shè)定值yl=０、y2=0、y3=0．0076、y4=-0．104。也就是說預(yù)測控制中的設(shè)定值將從這幾個數(shù)據(jù)中產(chǎn)生。這樣的設(shè)定值是合理的，所以預(yù)測控制可以無偏的實現(xiàn)并且保證較快的回復(fù)時間。
??? 為了驗證目標(biāo)規(guī)劃算法，假設(shè)前3個高優(yōu)先級滿足那么這個問題可以用如下的線性規(guī)劃表示

??? 線性規(guī)劃的結(jié)果是-0．104，這也說明了目標(biāo)規(guī)劃的正確性。如果有多余的自由度目標(biāo)規(guī)劃也會把第4優(yōu)化級優(yōu)化到目標(biāo)值，但是現(xiàn)在由于沒有多余的自由度，所以目標(biāo)規(guī)劃就只有使第4優(yōu)化級盡量接近目標(biāo)值。
??? 例2

??? 情況1，當(dāng)ytgt=5，IRV=0，解上述目標(biāo)規(guī)劃可以得到動態(tài)控制的設(shè)定值為y=5；u2=0
??? 情況2，當(dāng)ytgt=10，IRV=0，解上述目標(biāo)規(guī)劃，由于ytgt=10的優(yōu)先級高，所以首先滿足它，然后盡量減少u2的負(fù)偏差，結(jié)果為ul=3，u2=2。可以得到動態(tài)控制的設(shè)定值為y=5；u2=2。所謂胖瘦系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變可以通過優(yōu)化層變化控制層的設(shè)定值自然地得到體現(xiàn)。實際上由于沒有自由度，此時的經(jīng)濟量為自然響應(yīng)。
??? 情況3，當(dāng)ytgt=15，IRV=0，解上述目標(biāo)規(guī)劃，可以得到動態(tài)控制的設(shè)定值為y=12；u2=3。即使自由度用盡也不能夠滿足基本控制目標(biāo)。
??? 情況4，當(dāng)8≤ytgt≤10,IRV=0，經(jīng)計算設(shè)定值為y=8；u2=1。y=8是為了在滿足區(qū)間的同時使經(jīng)濟目標(biāo)盡量接近IRV。
4 結(jié)論
??? 預(yù)測控制器的動態(tài)控制用于克服擾動保證最佳工作點和在最佳工作點變化后移動工作點，實現(xiàn)了控制器的調(diào)節(jié)特性和伺服特性。預(yù)測控制器的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化則實時的根據(jù)擾動和工況的變化尋找最佳工作點，預(yù)測控制器中的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化可以使預(yù)測控制器克服以前存在的缺點更平穩(wěn)高效的運行。本文首先介紹了預(yù)測控制器的特點和以前所做的工作，最后給出了基于目標(biāo)規(guī)劃理論的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略。這種策略克服了傳統(tǒng)預(yù)測控制存在的不足，可在自由度不足時優(yōu)先保證基本控制目標(biāo)，在自由度多余時充分利用自由度提高效益，而且由于采用的線性規(guī)劃理論所以計算量不大。

參考文獻：

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