（3）

（4）
（5）
（6）

對(duì)于一般的情況而言：

—該空間點(diǎn)到帶電導(dǎo)線的垂直距離，即|PQ|， ；

a—導(dǎo)線底端到該空間點(diǎn)在導(dǎo)線上投影間的距離，即|QA|；

b—導(dǎo)線頂端到該空間點(diǎn)在導(dǎo)線上投影間的距離，即|QB|；

Y— 在XOY平面的投影，即|OQ|；

Z— 在XOZ平面的投影，即|OP|。這樣空間點(diǎn)與其在導(dǎo)線和XOY平面的投影點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形△POQ。

三、矩形環(huán)流的磁場(chǎng)計(jì)算

矩形線圈的每匝相當(dāng)于矩形環(huán)流，因此我們首先分析矩形環(huán)流在空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算。這里使用疊加原理，即考慮在空間中矩形環(huán)流四條邊（有一定長(zhǎng)度的帶電導(dǎo)線）的疊加效果，從而可得到在Z方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和為：

（76）

式中的B1z、B2z、B3z、B4z分別表示的是矩形線圈四條邊對(duì)空間點(diǎn)產(chǎn)生的Z方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，也就是由公式（5）推導(dǎo)得到的結(jié)果。對(duì)于1邊產(chǎn)生的磁場(chǎng)，首先做出如圖2中的三角形，依據(jù)上一部分的推導(dǎo)可以很容易得到該條邊產(chǎn)生的Z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其他幾條邊的推導(dǎo)相同，在此不再贅述。

（8）

式中：I—矩形環(huán)流的通電電流強(qiáng)度；

P—空間點(diǎn)，坐標(biāo)為（X，Y，Z）；

2a、2b—矩形線圈的長(zhǎng)和寬。

本文設(shè)計(jì)的矩形線圈將用于無(wú)損檢測(cè)的激勵(lì)磁場(chǎng)的產(chǎn)生，因此關(guān)心的是矩形每條邊垂直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化情況，也就是1、3邊將產(chǎn)生的x方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，以及2、4邊產(chǎn)生的y方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，因此有以下的結(jié)論：

（9）

（10）

四、矩形線圈磁場(chǎng)的積分計(jì)算

以上對(duì)一定長(zhǎng)度的帶電導(dǎo)線以及矩形環(huán)流在其四周產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行了分析，下面在此基礎(chǔ)上詳盡介紹矩形線圈作為激勵(lì)源產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布。為了便于分析，對(duì)矩形線圈建立如圖3的坐標(biāo)系，由體電流源產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，可以通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算：

（11）

對(duì)于矩形線圈建立的坐標(biāo)系，可以知道，一個(gè)場(chǎng)點(diǎn)的矢量可以表述為： ，一個(gè)源點(diǎn)的矢量可以表述為 ，空間任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以看作是矩形四邊的線圈共同作用的結(jié)果，同樣有以下的結(jié)論：

對(duì)于區(qū)域1和區(qū)域3只可能產(chǎn)生x、z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，而區(qū)域2和區(qū)域4只可能產(chǎn)生y、z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，下面分析區(qū)域1產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布：

由（11）式可得：

（12）

其中： ；

在這里考慮的是矩形線圈，線圈的厚度相同，因此這里k1=1，其它幾個(gè)方向在其周圍產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度推導(dǎo)過(guò)程相同，其各自的電流可以分別描述為-Ji，-Jj，Ji，其具體的論證在此就不再贅述，以下就是分析得到的結(jié)果： （13）

其中： ；

另外，對(duì)于區(qū)域3有： （14）

其中： ；

對(duì)于區(qū)域4有： （15）

其中： ；

因此對(duì)于空間任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)軸方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布可以通過(guò)下列計(jì)算式進(jìn)行計(jì)算：

(16）

下面分析y方向上的磁場(chǎng)分布情況：

(17）

矩形線圈的四條邊對(duì)空間的任意一點(diǎn)都會(huì)產(chǎn)生z方向上的磁場(chǎng)，因此由下式存在：

（18）

下面再介紹一下對(duì)上述（12）、（13）、（14）、（15）式進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算的方法。在此介紹的使用復(fù)化梯形的方法，其積分形式如下：

對(duì)區(qū)間[a，b]和[c，d]分別選取正整數(shù)m和n，在x軸和y軸上分別有步長(zhǎng)：

用復(fù)化梯形公式計(jì)算 ，計(jì)算中將x視為常數(shù)，有：

（19）

在將y當(dāng)作常數(shù)，在x方向上計(jì)算（19）式，最終可得到下面的結(jié)論：

（20）

由分析可知，積分區(qū)域的4個(gè)角點(diǎn)的系數(shù)是1/4，4個(gè)邊界的系數(shù)是1/2，內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)的系數(shù)是1，積分結(jié)果的誤差可以通過(guò)下式得到： （21）

其中 和 在積分區(qū)間內(nèi)。

五、總結(jié)

本文從畢奧—莎伐定律關(guān)于計(jì)算線電流源、體電流源的理論出發(fā)，由簡(jiǎn)入深的討論了矩形線圈的磁場(chǎng)的理論分析和計(jì)算，并通過(guò)實(shí)際模型的測(cè)試，證明了本文的數(shù)值計(jì)算方法是行之有效的，也對(duì)進(jìn)行矩形線圈的設(shè)計(jì)提供了思路。