基于FPGA的高速定點FFT算法的設計方案

引 言
??? 快速傅里葉變換(FFT)作為計算和分析工具，在眾多學科領域(如信號處理、圖像處理、生物信息學、計算物理、應用數(shù)學等)有著廣泛的應用。在高速數(shù)字信號處理領域，如雷達信號處理，F(xiàn)FT的處理速度往往是整個系統(tǒng)設計性能的關鍵所在。
??? 針對高速實時信號處理的要求，軟件實現(xiàn)方法顯然滿足不了其需要。近年來現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)以其高性能、高靈活性、友好的開發(fā)環(huán)境、在線可編程等特點，使得基于FPGA的設計可以滿足實時數(shù)字信號處理的要求，在市場競爭中具有很大的優(yōu)勢。
??? 在FFT算法中，數(shù)據(jù)的寬度通常都是固定的寬度。然而，在FFT的運算過程中，特別是乘法運算中，運算的結果將不可避免地帶來誤差。因此，為了保證結果的準確性，采用定點分析是非常必要的。

1 FFT算法原理
??? FFT算法的基本思想就是利用權函數(shù)的周期性、對稱性、特殊性及周期N的可互換性，將較長序列的DFT運算逐次分解為較短序列的DFT運算。針對N=2的整數(shù)次冪，F(xiàn)FT算法有基-2算法、基-4算法、實因子算法和分裂基算法等。這里，從處理速度和占用資源的角度考慮，選用基-4按時間抽取FFT算法 (DIT)。對于N=4γ，基-4 DIT具有l(wèi)og4N=γ次迭代運算，每次迭代包含N／4個蝶形單元。蝶形單元的運算表達式為：

??
??? 其信號流如圖1。式中：A，B，C，D和A′，B′，C′，D′均為復數(shù)據(jù)；W=e-j2π/N。進行1次蝶形運算共需3次復乘和8次復加運算。N=64 點的基-4DIT信號流其輸入數(shù)據(jù)序列是按自然順序排列的，輸出結果需經(jīng)過整序。64點數(shù)據(jù)只需進行3次迭代運算，每次迭代運算含有N／4=16個蝶形單元。

2 FFT算法的硬件實現(xiàn)
2．1 流水線方式FFT算法的實現(xiàn)
??? 為了提高FFT工作頻率和節(jié)省FPGA資源，采用3級流水線結構實現(xiàn)64點的FFT運算。流水線處理器的結構如圖2所示。

每級均由延時單元、轉(zhuǎn)接器(SW)、蝶形運算和旋轉(zhuǎn)因子乘法4個模塊組成，延時節(jié)拍由方框中的數(shù)字表示。各級轉(zhuǎn)接器和延時單元起到對序列進行碼位抽取并將數(shù)據(jù)拉齊的作用。每級延時在FPGA內(nèi)部用FIFO實現(xiàn)，不需要對序列進行尋址即可實現(xiàn)延時功能。數(shù)據(jù)串行輸入，經(jīng)過3級流水處理后，串行輸出。
??? 轉(zhuǎn)接器有一定的工作規(guī)律。例如，當?shù)?級變換做完進入轉(zhuǎn)接器SW1前，先對后三路數(shù)據(jù)進行一定節(jié)拍的延時，延遲節(jié)拍分別為4，8，12。為了說明規(guī)律，把輸入轉(zhuǎn)接器的四路數(shù)據(jù)按照前后次序進行分組，每4個時鐘節(jié)拍為1組，共16組，如圖3(左)所示。在數(shù)據(jù)流串行經(jīng)過轉(zhuǎn)接器SW1時，第0組中的數(shù)據(jù)保持不變，第1組中的數(shù)據(jù)與第4組中的數(shù)據(jù)交換；5不變，2和8交換，3和12交換，6和9交換；10不變，7和13交換，11和14交換，15不變。交換完畢后，前三路數(shù)據(jù)經(jīng)過延遲節(jié)拍分別為12，8，4的FIFO存儲器輸出，位置關系如圖3所示。

??? 上述轉(zhuǎn)換規(guī)律對于SW2也是適用的，只是轉(zhuǎn)接器前后的延時節(jié)拍和分組的大小有所不同。
2．2 存儲單元
??? 為了實現(xiàn)算法的流水線設計，存儲器RAM設計為64×16 b的雙端口RAM，即在時鐘信號和寫控制信號同時為低電平時，從輸入總線寫入RAM；在時鐘信號和讀控制信號同時為高電平時，從RAM輸出數(shù)據(jù)。
??? ROM為17×16 b的ROM，儲存經(jīng)過量化后的旋轉(zhuǎn)因子，旋轉(zhuǎn)因子為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。根據(jù)旋轉(zhuǎn)因子的對稱性和周期性，在利用ROM存儲旋轉(zhuǎn)因子時，可以只存儲旋轉(zhuǎn)因子的一部分。
2．3 運算結構
??? Radix-4蝶形運算單元是整個FFT處理器中的核心部件。在用Radix-4運算器計算時需要并行輸入數(shù)據(jù)，如果能以并發(fā)數(shù)據(jù)輸入的話，則同步性和控制度較好，但實際上常要進行串并之間的轉(zhuǎn)換。存儲RAM按單節(jié)拍輸出16 b位寬數(shù)據(jù)，選擇器不停旋轉(zhuǎn)送入到確定的位置，每4點全部到位后R-4使能有效；然后4個時鐘節(jié)拍得到有效結果數(shù)據(jù)，再通過選擇器旋轉(zhuǎn)送入到對應存儲 RAM中。
??? 復數(shù)運算中，對應復數(shù)的實部和虛部RAM用同一個地址發(fā)生器。地址發(fā)生器在進行RAM地址發(fā)生時采用兩套地址，第一套是計數(shù)器按時鐘節(jié)拍順序產(chǎn)生的，用于輸入數(shù)據(jù)的存儲；第二套是由數(shù)據(jù)寬度為16 b的ROM產(chǎn)生的，ROM中存放的數(shù)據(jù)為下級運算所需倒序的序列地址，發(fā)生地址給RAM，然后RAM按倒序地址輸出下級需要進行運算的數(shù)據(jù)。
2．4 塊浮點結構
??? 數(shù)字信號處理系統(tǒng)可分為定點制、浮點制和塊浮點制，它們在實現(xiàn)時對系統(tǒng)資源的要求不同，工作速度也不同，有著不同的適用范圍。定點制算法簡單，速度快，但動態(tài)范圍有限，需要用合適的溢出控制規(guī)則(如定比例法)適當壓縮輸入信號的動態(tài)范圍。浮點表示法動態(tài)范圍大，可避免溢出，但系統(tǒng)實現(xiàn)復雜，硬件需求量大，速度慢。
??? 為了提高精度，并減少復雜度和存儲量，采用塊浮點結構。塊浮點算法是以上兩種表示法的結合。這種表示方法是，一組數(shù)共用同一個階碼，這個階碼是這組數(shù)中最大數(shù)的階碼。塊浮點算法無需進行額外的指數(shù)運算，僅對尾數(shù)進行運算即可，其與定點運算一樣方便，但需要在每級運算結束后進行本級運算溢出最大位數(shù)判斷，以對數(shù)據(jù)塊進行塊指數(shù)調(diào)整。在調(diào)整時僅保留一位符號位，因而能夠充分利用有限位長。這樣處理比定點方法擴大了動態(tài)范圍，并且提高了精度，比浮點運算在速度上有了提高。塊浮點結構如圖4所示。

3 結 語
??? 著重討論基于FPGA的64點高速FFT算法的實現(xiàn)方法。采用高基數(shù)結構和流水線結構，大大提高了FFT處理器的運行速度。同時塊浮點結構的引入，也大幅減少了浮點操作占用FPGA器件的資源數(shù)目，兼顧了FPGA高精度、低資源、低功耗的特點。從實驗結果看，該方法可以滿足高速實時處理數(shù)字信號的要求。