??所有DAC都會(huì)表現(xiàn)出一定程度的諧波失真，諧波失真是用來(lái)衡量當(dāng)DAC輸入端采用一個(gè)理想的均勻采樣正弦波的數(shù)值序列驅(qū)動(dòng)時(shí)，其輸出端能在多大程度上再現(xiàn)這個(gè)理想的正弦波。由于DAC的瞬態(tài)和靜態(tài)特性并不理想，因此輸出頻譜將會(huì)包含諧波成分。DAC的瞬態(tài)輸出特性包括壓擺率限制、非對(duì)稱上升和下降時(shí)間、有限建立時(shí)間。靜態(tài)特性與傳遞函數(shù)偏離直線的程度有關(guān)。本文將重點(diǎn)討論靜態(tài)特性，并闡述一種由輸出頻譜中觀察到的諧波成分導(dǎo)出DAC傳遞函數(shù)的方法。分析中假設(shè)，傳遞函數(shù)而非瞬態(tài)輸出特性是所觀察到的諧波失真的主要來(lái)源。此假設(shè)在低頻時(shí)成立。 ??DAC傳遞函數(shù) ??圖1顯示一個(gè)理想的DAC傳遞函數(shù)，它是一條斜線，y=mx+b。數(shù)字輸入位于x軸，模擬輸出位于y軸。 ?? ??圖1：理想的DAC傳遞函數(shù)。 ??x軸上的目標(biāo)范圍是從左邊的最小碼（A）到右邊的最大碼（B）。y軸上的目標(biāo)范圍是從底部的最小輸出值（C）到接近頂部的最大輸出值（D）。定義理想傳遞函數(shù)的斜率（m）和y軸截距（b）的方程式用邊界值A(chǔ)、B、C、D表示。信號(hào)g（t）代表一個(gè)無(wú)失真的正弦波，由A至B范圍內(nèi)的數(shù)字輸入組成，時(shí)間軸向下。信號(hào)u（t）代表模擬輸出，其值在C至D范圍內(nèi)，時(shí)間軸向右。 ??輸出信號(hào)是通過(guò)傳遞函數(shù)反射的輸入信號(hào)。請(qǐng)注意，輸出信號(hào)是將g（t）上各點(diǎn)鏈接到u（t）上相應(yīng)點(diǎn)的結(jié)果。圖1顯示在特定時(shí)間點(diǎn)t=tk的傳遞操作例子，該時(shí)間點(diǎn)確定輸入信號(hào)上的點(diǎn)g（tk）。傳遞函數(shù)進(jìn)而將g（tk）鏈接到輸出信號(hào)上的相應(yīng)點(diǎn)u（tk）。對(duì)于理想的線性傳遞函數(shù)，u（t）與g（t）成比例關(guān)系。請(qǐng)注意，g（tk）對(duì)應(yīng)于x軸上的點(diǎn)xk，它通過(guò)傳遞函數(shù)反射至y軸上的點(diǎn)yk。借助關(guān)于耦合點(diǎn)集（g（tn），u（tn））的已有知識(shí)，可以確定傳遞函數(shù)上的相關(guān)點(diǎn)（xn，yn）。因此，通過(guò)輸入信號(hào)g（t）上的點(diǎn)與輸出信號(hào)u（t）上的點(diǎn)之間的關(guān)系，完全可定義傳遞函數(shù)。 ??對(duì)于N位DAC，邊界值A(chǔ)和B取特定值，即A = 0且B = 2N–1。而為了方便起見(jiàn)，指定邊界值C和D為C = A且D = B。這樣意味實(shí)際DAC輸出信號(hào)的比例和偏移，因而其峰峰值范圍為0至2N–1。利用A、B、C、D的這些值，因?yàn)樾甭蕀 = 1且截距b = 0，所以理想傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為y = x。 ??到目前為止，討論的重點(diǎn)還是理想的DAC傳遞函數(shù)，但現(xiàn)在我們有了可以處理失真DAC傳遞函數(shù)f（x）的工具，如圖2所示。需要注意的主要特點(diǎn)是：傳遞函數(shù)不再是直線y = x，而是一個(gè)形狀函數(shù)f（x）；圖中隨意以平滑弧形來(lái)表示。f（x）對(duì)輸出函數(shù)u（t）的影響也同樣重要。理想輸入g（t）通過(guò)傳遞函數(shù)f（x）反射，產(chǎn)生失真輸出u（t）。與現(xiàn)成DAC的傳遞函數(shù)相比，圖中所示的弧形傳遞函數(shù)較為夸張，僅為加強(qiáng)說(shuō)明效果而已。現(xiàn)代DAC的傳遞函數(shù)與理想的直線幾乎沒(méi)有偏差，但即使最微小的偏差也會(huì)導(dǎo)致輸出頻譜中出現(xiàn)諧波雜散。 ?? ??圖2：失真的DAC傳遞函數(shù)。 ??能否成功重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)，取決于是否能通過(guò)已知的g（t）和u（t）確定各點(diǎn)（xk，f（xk））。這一過(guò)程分為兩步：首先采用一個(gè)代表理想采樣正弦波的數(shù)值序列驅(qū)動(dòng)DAC輸入，利用頻譜分析儀測(cè)量DAC輸出，并記錄基波信號(hào)和盡可能多諧波成分的幅值；然后將測(cè)得的諧波幅值轉(zhuǎn)換為特定形狀的傳遞函數(shù)。如果操作得當(dāng)，將g（t）代入f（x）仿真u（t）將產(chǎn)生與測(cè)量結(jié)果相同的諧波失真值。 ??第一步：測(cè)量DAC諧波 ??第一步需要一個(gè)輸入序列，用來(lái)代表一個(gè)以等距時(shí)間間隔采樣的理想正弦波周期。目標(biāo)是重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)，因此從0到2N–1的每個(gè)DAC碼必須在輸入信號(hào)中至少出現(xiàn)一次。輸入序列需要2N以上的采樣點(diǎn)才能以等距間隔使用每個(gè)DAC碼，實(shí)際上至少需要2N+3個(gè)采樣才能保證每個(gè)碼都出現(xiàn)。下式可產(chǎn)生2K DAC碼的理想正弦序列（K ≥ N+3）。函數(shù)round{x}將x舍入為最近的整數(shù)。 ?? ??此方程式假設(shè)DAC將標(biāo)準(zhǔn)二進(jìn)制格式的數(shù)字輸入字解碼為0至2N–1范圍內(nèi)的無(wú)符號(hào)整數(shù)。對(duì)于偏移二進(jìn)制或二進(jìn)制補(bǔ)碼DAC，必須調(diào)整gn以表示負(fù)值。 ??數(shù)值序列（gn）以采樣速率fs重復(fù)提供給DAC，因此DAC輸出頻譜含有頻率f0=fs/2k的基波信號(hào)。諧波出現(xiàn)在2f0、3f0、4f0和f0的其它整數(shù)倍。由于DAC輸出頻譜具有采樣性質(zhì)，因此這些諧波的幅度受sin（x）/x響應(yīng)的限制。不過(guò)，f0與fs相比微不足道，因此sin（x）/x響應(yīng)實(shí)際上是平坦的，可忽略不計(jì)。例如，對(duì)于一個(gè)8位DAC，K ≥ 11且f0 ≤ fs/2048，100次諧波的sin（x）/x將不超過(guò)0.39% （0.034 dB）。 ??為了準(zhǔn)確重構(gòu)傳遞函數(shù)f（x），需要根據(jù)諧波數(shù)（h）集盡可能記錄更多諧波的幅值。這些整數(shù)從h=1（基波頻率）至h=H，其中H表示取測(cè)量幅值的最高諧波數(shù)。例如，對(duì)于10次諧波的測(cè)量，H = 10，該諧波數(shù)集為h={1， 2， 3， 。. 10}。 ??然后，將各測(cè)量諧波的幅值（M）與其諧波數(shù)關(guān)聯(lián)。例如，M1是1次諧波（基波）的幅值，M2是2次諧波的幅值，依此類推至MH。諧波幅值通常用相對(duì)于基波幅值的分貝數(shù)（dBc）來(lái)衡量。dBc轉(zhuǎn)換為線性單位的公式如下： ?? ??其中D表示測(cè)得的諧波幅值，單位為dBc。例如，如果3次諧波的幅值為–40 dBc，則線性幅值M3 = 10–40/20或0.01。M1始終等于1，因?yàn)楦鶕?jù)定義，基波的幅值為0 dBc。 ??第二步：重構(gòu)DAC傳遞函數(shù) ??該過(guò)程的第二步涉及到將諧波測(cè)量結(jié)果與傳遞函數(shù)相關(guān)。f（x）上的點(diǎn)取決于g（t）和u（t）上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，因此首先必須將頻域中的諧波幅值轉(zhuǎn)換到時(shí)域。請(qǐng)注意，組成g（t）的DAC碼與g（t）正弦形式的相關(guān)時(shí)間點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。因此，構(gòu)成g（t）的DAC碼與時(shí)域相關(guān)。此外，u（t）通過(guò)f（x）與g（t）相關(guān)，而g（t）是一個(gè)時(shí)域函數(shù)，因此u（t）也必須表示為時(shí)域函數(shù)。這樣就能將g（t）中的各時(shí)間點(diǎn)tk鏈接到u（t）中的相關(guān)時(shí)間點(diǎn)，從而由g（t）和u（t）確定f（x）。 ??將諧波幅值轉(zhuǎn)換到時(shí)域非常困難，因?yàn)閒（x）必須明確與g（t）中的各可能DAC碼（0至2N–1）相關(guān)。g（t）是一個(gè)理想正弦波，因此確保唯一性的唯一方法是將范圍限制在該正弦波單調(diào)增加的位置，如圖3加粗部分所示。如果沒(méi)有這一限制條件，f（x）上的一個(gè)點(diǎn)可能會(huì)映射到g（t）上的兩個(gè)點(diǎn)，從而導(dǎo)致不明確。 ??為演示這種不定性，請(qǐng)想象將區(qū)間T向下移動(dòng)。現(xiàn)在，f（x）上的點(diǎn)（xk， fkxk））可以與g（t）上的兩個(gè)點(diǎn)相關(guān)，這是不可接受的。將范圍T限制在圖中所示位置，將不存在不定性。g（t）為正弦波，因此所需范圍T對(duì)應(yīng)于？周期，其初始相位偏移為3π/2弧度。 ?? ??圖3:f（x）與g（t）之間的關(guān)系。 ??g（t）的范圍受T限制意味著u（t）也具有類似的范圍限制。因此，將所記錄的諧波幅值轉(zhuǎn)換到時(shí)域時(shí)，必須確保將u（t）限制在與g（t）相同的范圍T，如圖4所示。 ?? ??圖4:g（t）和u（t）的時(shí)域范圍。 ??請(qǐng)注意，實(shí)際的時(shí)間范圍T無(wú)關(guān)緊要，因?yàn)閒（x）僅在g（t）和u（t）二者的幅值之間起轉(zhuǎn)換作用。為簡(jiǎn)化分析，將基波頻率（f0）歸一化為1。因此，2次諧波的頻率為2，3次諧波的頻率為3，如此類推。所以，諧波頻率與諧波數(shù)（h）相等：fh=h。這一便捷關(guān)系可簡(jiǎn)化從諧波測(cè)量結(jié)果Mh創(chuàng)建u（t）的數(shù)學(xué)計(jì)算。 ??正弦波的一般時(shí)域表達(dá)式為： ?? ??其中β為峰值振幅，θ為初始相位偏移。 ??用h代替f，并用Mh代替β，可以獲得各諧波uh（t）的時(shí)域表達(dá)式。不過(guò)應(yīng)記住，g（t）偏移3π/2弧度。此外，g（t）與u（t）之間通過(guò)f（x）關(guān)聯(lián)意味著g（t）和u（t）在相位上是對(duì)準(zhǔn)的。用3π/2代替θ可提供所需的對(duì)準(zhǔn)。下式中，請(qǐng)注意0 ≤ t 《 1且π取代了2π，目的是將基波限制在范圍T所表示的半個(gè)周期： ?? ??利用各諧波uh（t）的時(shí)域表達(dá)式，便可以重構(gòu)復(fù)合輸出u（t），表示為基波和諧波信號(hào)的和： ?? ??如前所述，我們的目標(biāo)是將g（t）與u（t）相關(guān)以重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)f（x）。此外，g（t）必須恰好由2N個(gè)樣本組成，以便與f（x）上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。因此，g（t）的樣本計(jì)算公式為： ?? ??g（t）由2N個(gè)樣本組成，因此由包括2N個(gè)采樣的u（t）采樣值集重構(gòu)f（x）似乎是合理的。然而，事實(shí)卻是至少需要2N+3個(gè)采樣才能為較小的Mh值提供適當(dāng)?shù)木取＿@種情況下，u（t）各采樣點(diǎn)的計(jì)算公式應(yīng)如下： ??