22.6.1.1。從離散到連續(xù)

要了解在處理連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)遇到的其他技術(shù)挑戰(zhàn)，讓我們進(jìn)行一個(gè)思維實(shí)驗(yàn)。假設(shè)我們正在向飛鏢盤(pán)扔飛鏢，我們想知道它準(zhǔn)確命中的概率2cm 從董事會(huì)的中心。

首先，我們想象測(cè)量一個(gè)精度的個(gè)位數(shù)，也就是說(shuō)用 bins for0cm,1cm, 2cm， 等等。我們?nèi)诱f(shuō)100在飛鏢板上飛鏢，如果20他們落入垃圾箱 2cm我們的結(jié)論是20%我們投擲的飛鏢擊中了棋盤(pán)2cm遠(yuǎn)離中心。

然而，當(dāng)我們仔細(xì)觀察時(shí)，這與我們的問(wèn)題不符！我們想要完全相等，而這些箱子容納了介于 say 之間的所有東西 1.5cm和2.5cm.

沒(méi)有氣餒，我們繼續(xù)更進(jìn)一步。我們測(cè)量得更精確，比如說(shuō) 1.9cm,2.0cm,2.1cm，現(xiàn)在看到也許3的100飛鏢擊中棋盤(pán)2.0cm桶。因此我們得出結(jié)論概率是 3%.

但是，這并不能解決任何問(wèn)題！我們剛剛將問(wèn)題進(jìn)一步降低了一位數(shù)。讓我們抽象一點(diǎn)。想象一下，我們知道第一個(gè)k數(shù)字匹配 2.00000…我們想知道它匹配第一個(gè)的概率k+1數(shù)字。可以相當(dāng)合理地假設(shè) k+1th數(shù)字本質(zhì)上是從集合中隨機(jī)選擇的{0,1,2,…,9}. 至少，我們無(wú)法想象一個(gè)物理上有意義的過(guò)程會(huì)迫使遠(yuǎn)離中心的微米數(shù)更喜歡以一個(gè)結(jié)束7對(duì)一個(gè) 3.

這意味著本質(zhì)上，我們要求的精度每增加一位，匹配概率就會(huì)降低一個(gè)因子 10. 或者換句話(huà)說(shuō)，我們期望

價(jià)值p本質(zhì)上編碼了前幾位數(shù)字發(fā)生的事情，以及10?k處理其余部分。

請(qǐng)注意，如果我們知道位置準(zhǔn)確到k=4小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，這意味著我們知道該值落在區(qū)間內(nèi) [1.99995,2.00005]這是一個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間 2.00005?1.99995=10?4. 因此，如果我們稱(chēng)這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度?， 我們可以說(shuō)

讓我們更進(jìn)一步。我們一直在思考的重點(diǎn)2整個(gè)時(shí)間，但從不考慮其他點(diǎn)。根本上沒(méi)有什么不同，但情況是價(jià)值p可能會(huì)有所不同。我們至少希望飛鏢投擲者更有可能擊中中心附近的一個(gè)點(diǎn)，比如 2cm而不是20cm. 因此，價(jià)值 p不是固定的，而是應(yīng)該取決于點(diǎn)x. 這告訴我們，我們應(yīng)該期望